Arreglos.

   Antes de iniciar con los conceptos y la descripción de los arreglos, considere el siguiente problema:

Se desea almacenar un grupo de cuatro calificaciones, y determinar:

• Cuál es la menor.
• Cuál es la mayor.
• Cuáles y cuántas son aprobatorias y reprobatorias en base a un determinado criterio.
• Su media aritmética (promedio).
• Si existe o no una calificación específica.

Finalmente, las calificaciones deben ser ordenadas de manera ascendente.

   Con lo que se ha presentado hasta ahora en las entradas anteriores, ¿puede dar solución a este problema?, y si en lugar de cuatro calificaciones se tuvieran que procesar diez, ¿qué cambios tendría que hacer?, ¿y si en lugar de diez fueran 100?, ¿y si fueran 1000 o más?

   La situación presentada con anterioridad se puede resolver sin importar el número de calificaciones; el "problema" es que por cada nuevo incremento en el número de calificaciones tendrían que agregarse nuevas variables con sus respectivos identificadores, además de modificar el código que realiza las tareas solicitadas (lectura de datos, procesamiento, etcétera) para considerar a estas nuevas variables. Dicha labor, además de tediosa es ardua, pero sobre todo, ineficiente.

   Con base en lo anterior, debería ser claro que se requiere de algo más, se necesita otra cosa, algo que permita manejar mejor y de manera general este tipo de problemas. Pues bien, eso que hace falta es lo que se conoce como arreglos.

   Un arreglo es una estructura de datos con un tamaño determinado que agrupa elementos del mismo tipo de datos, los cuales están relacionados por un nombre (identificador) y se distinguen por uno o más índices.

   En entradas subsecuentes se analizarán los arreglos de una dimensión, también conocidos como vectores, los arreglos de dos dimensiones o matrices, los arreglos de tres dimensiones, y una generalización para los arreglos de n dimensiones.

Torres de Hanoi.

   Existen varias versiones y variantes del problema de las torres de Hanoi, pero la versión clásica y más común es la siguiente:

Se tienen tres postes, normalmente denotados como A, B y C, y en uno de ellos (poste de origen, usualmente A) se tienen apilados n discos de diferentes diámetros. 

El problema consiste en pasar los n discos del poste origen al poste destino (usualmente C) manteniendo en todo momento las siguientes reglas:

1. Sólo se puede mover un disco cada vez.
2. Un disco de mayor diámetro no puede estar sobre uno de menor diámetro.
3. Sólo se puede mover el disco que se encuentre en la parte superior de cada poste.

   Ahora bien, para el caso de n = 1, si A es el poste origen, C el poste destino, y B el poste auxiliar, la solución es directa:

Mover el disco 1 del poste A al poste C.

   Para el caso de n = 2, si A es el poste origen, C el poste destino, y B el poste auxiliar, la solución está dada por los siguientes movimientos de discos, donde el disco 1 es el más pequeño y el disco 2 es el más grande:

Mover el disco 1 del poste A al poste B

Mover el disco 2 del poste A al poste C

Mover el disco 1 del poste B al poste C

   Para el caso de n = 3, si A es el poste origen, C el poste destino, y B el poste auxiliar, la solución está dada por los siguientes movimientos de discos, donde el disco 1 es el más pequeño y el disco 3 es el más grande:

Mover el disco 1 del poste A al poste C

Mover el disco 2 del poste A al poste B

Mover el disco 1 del poste C al poste B

Mover el disco 3 del poste A al poste C

Mover el disco 1 del poste B al poste A

Mover el disco 2 del poste B al poste C

Mover el disco 1 del poste A al poste C

   Para visualizar mejor la solución, se sugiere como ejercicio realizar los dibujos que reflejen la naturaleza de estos movimientos. Adicionalmente, se sugiere realizar la misma labor para cuatro y cinco discos. Hágalo antes de continuar.

   Si realizó lo sugerido en el párrafo anterior, quizá haya identificado algunos patrones:

• Para el caso de cuatro discos, se tiene la situación inicial sugerida por la siguiente figura:

• Para el caso de cuatro discos (en general para el caso de n discos), después de algunos movimientos se tiene la situación presentada en la siguiente figura, en la que se observan los n - 1 discos colocados en la posición auxiliar B, y el disco de mayor diámetro listo para ser movido a su posición final:

• El siguiente paso es el movimiento del disco de mayor diámetro de la posición origen A hacia su posición final de destino (C). Observe que los discos en la posición auxiliar no se afectan, como lo muestra la siguiente figura:

• Ahora bien, de la figura anterior puede notarse lo siguiente: en la posición B están los n - 1 discos restantes, es decir, el problema original de n discos pero simplificado (al menos por un disco), por lo que, si se toma como nuevo origen la posición B, se mantiene el destino en la posición C y se hace que la posición auxiliar sea ahora A, se tiene la misma situación del problema original pero con menos discos y con nuevos roles respecto a la posición de origen y la auxiliar.

   En resumen el problema se reduce ahora a mover los n - 1 discos de la posición B a la posición C utilizando a la posición A como auxiliar, y si se repite el procedimiento, se obtendrá eventualmente la situación presentada en la siguiente figura:

   De lo anterior se pueden deducir las relaciones de recurrencia y el caso base para dar solución recursivamente al problema de las torres de Hanoi. De manera general, se presenta a continuación el algoritmo de las torres de Hanoi:

Algoritmo mover_disco(n: entero, origen: character, destino: character, auxiliar: character)
Inicio
            if (n == 1)
                        imprimir mover el disco n de la posición origen a la posición destino
            else
                        mover_disco(n - 1, origen, auxiliar, destino)
                        imprimir mover el disco n de la posición origen a la posición destino
                        mover_disco(n - 1, auxiliar, destino, origen)
            end if
Fin

   Observe que el algoritmo anterior es una descripción en pseudo código de los patrones identificados en el texto. Por otro lado, si se realizó el ejercicio sugerido con anterioridad, un análisis cuidadoso deberá llevar al lector a la identificación de dichos patrones.

Consideraciones adicionales.

   En resumen, las implementaciones recursivas son en general ineficientes en tiempo y espacio, pero muy elegantes y simples una vez que se tiene identificada la relación de recurrencia. En este sentido, siempre que pueda identificar un enfoque iterativo que sea sencillo de implementar, opte por él.

   Por otro lado, el problema de las torres de Hanoi es un ejemplo ineludible de que por medio de la recursividad es posible solucionar problemas complejos de manera bastante sencilla, aunque el precio a pagar sea la eficiencia en tiempo y espacio de memoria. Intente resolver el problema de las torres de Hanoi de manera iterativa para tener una mejor comprensión de lo anterior, y experimente directamente y de primera mano el eterno conflicto (tradeoff) computacional entre espacio vs. tiempo, y eficiencia vs. simplicidad.

Ejercicios selectos (recursividad).

1. En la entrada Recursividad (Definición y conceptos), se presenta y describe brevemente una figura geométrica generada mediante un proceso recursivo potencialmente infinito. Siguiendo lo descrito en dicha entrada, dibuje en papel la figura geométrica correspondiente de Nivel 5.
2. Haga un análisis de los llamados y retornos recursivos como los realizados en la entrada "Soluciones iterativas vs. recursivas" para los llamados de función factorial(5) y factorial(6).
3. Escriba un programa que, a través de una función recursiva, calcule el producto de dos números enteros positivos a y b por medio de sumas sucesivas, esto es: a * b = a + a + . . . + a, donde a se suma tantas veces como lo indique b. Para este ejercicio, asuma que b siempre será positivo, la idea de toda esta sección es poner en práctica la recursividad más que el análisis de todos los casos posibles para a y b.
   
4. Realice en una hoja de papel el árbol de recursividad que se genera para el cálculo de fibonacci(5) y fibonacci(6) como el que  se mostró en "Soluciones iterativas vs. recursivas".
5. Escriba un programa que, a través de una función recursiva, calcule el cociente entero de dos números enteros positivos a y b por medio de restas sucesivas, esto es a / b ==>
1.   a - b = c1, si c1 >= b, entonces
2. c1 - b = c2, si c2 >= b, entonces
3. c2 - b = c3, si c3 >= b, entonces
4.         .     .     .                                         donde el cociente estará dado por el número de veces que se haya podido repetir el procedimiento descrito.
6. Escriba un programa que, a través de una función recursiva, calcule la potencia de dos números enteros positivos a y b por medio de productos sucesivos, esto es: a^b = a * a * .  .  . * a, donde a se multiplica tantas veces como lo indique b.
7. Compare las versiones recursivas con las versiones iterativas descritas en el blog y analícelas. Simplemente por la lectura del código, ¿qué versión representa una mejor abstracción de las definiciones matemáticas? Realice diferentes ejecuciones y determine qué versión tiene un mejor rendimiento.
8. Tanto el factorial como la serie de Fibonacci crecen de manera exponencial y no hay tipo de dato que las pueda contener. En el lenguaje de programación C, los tipos de datos numéricos dividen su rango tanto en números positivos como en números negativos, por lo que su capacidad de almacenamiento se ve, por decirlo de alguna manera, dividida. Sin embargo, existe el modificador unsigned (sin signo), que instruye al compilador para usar todo el rango de bits del tipo de dato para representar números positivos incluyendo el cero. Pruebe con este modificador de tipo de datos, documéntese en su funcionamiento y su especificador de formato, y amplíe la capacidad de representación para los resultados de los ejemplos estudiados en el blog.
9. En base a lo indicado en el ejercicio anterior, calcule con la versión iterativa y recursiva respectivamente, fibonacci(52), ¿qué observa? ¿qué puede deducir?
10. En base a lo expuesto en el blog y basándose en el Ejemplo 5.5, determine el tiempo en segundos que tarda la función de Fibonacci en determinar, por ejemplo, fibonacci(49) en sus respectivas versiones: iterativa y recursiva.
11. Escriba un programa que, en base al algoritmo descrito para las Torres de Hanoi, resuelva dicho problema por medio de una función recursiva. Note que es un proceso de simple traducción al lenguaje C, ya que tanto las relaciones de recurrencia, como el criterio de paro están dados en el algoritmo.
12. Basándose en el ejercicio anterior y en el Ejemplo 5.5, determine el tiempo en segundos que tarda la función que da solución al problema de las torres de Hanoi para 20, 35 y 50 discos por ejemplo.